In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert.
Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:
dove è il segnale. Da notare che le energie non sono additive nello spazio di Hilbert dei segnali, infatti:
dove il termine è chiamato termine di cross energy. Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è , se invece è una corrente elettrica allora .
Spettro di potenza
Il prodotto di due segnali, nella teoria vettoriale dei segnali è definito come un prodotto scalare nello spazio di Hilbert:
Nell'ambito della teoria spettrale dei segnali tramite la trasformata di Fourier il prodotto dei due segnali si esprime come:
dove sono gli spettri dei segnali rispettivamente. Cambiamo l'ordine di integrazione:
allora gli spettri dei segnali sono funzioni complesse di , allora:
che è la formula generalizzata di Rayleigh: il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri.
Nel caso di un segnale lo spettro di potenza è dato da:
interpretabile come la somma di infiniti contributi del segnale a diverse frequenze.
In un sistema lineare dinamico l'energia di un segnale è data da:
Se ricordiamo che:
dove è la funzione di trasferimento del sistema. Per cui l'energia del segnale:
cioè l'energia del segnale è esprimibile in termini di spettri del segnale.
La quantità:
è la risposta del sistema all'energia trasferita. La grandezza .
Voci correlate