Funzione di Gompertz-Makeham

La funzione di Gompertz-Makeham è una nota legge analitica di sopravvivenza impiegata nella matematica attuariale.

Essa è rappresentata dalla funzione:

${\displaystyle l_{x}=k\cdot s^{x}\cdot g^{c^{x}}}$

Le ipotesi che vengono assunte mediante questo modello sono che:

1) sia presente una componente di mortalità per causa accidentale.
2) sia presente una componente dovuta all'invecchiamento con forza crescente al crescere dell'età x dell'individuo

risultando in una forza complessiva di mortalità pari a:

${\displaystyle \ \mu _{x}=\alpha +\beta c^{x}}$

con alfa e beta maggiori di 0, e c maggiore di 1.

Sfruttando la relazione tra forza di mortalità e legge di sopravvivenza, si ottiene:

${\displaystyle l_{x}=l_{a}\cdot e^{-\int _{a}^{x}{(\alpha +\beta c^{u})du}}=l_{a}\cdot e^{-[\alpha u+\beta {\frac {c^{u}}{\log c}}]_{a}^{x}}}$

${\displaystyle =l_{a}\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot {\frac {c^{a}}{\log c}}}\cdot e^{-ax}\cdot e^{-\beta {\frac {c^{x}}{\log c}}}}$

Ponendo infine:

${\displaystyle l_{a}\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot {\frac {c^{a}}{\log c}}}=k}$

${\displaystyle \ e^{-\alpha }=s}$

${\displaystyle \ e^{-{\frac {\beta }{\log c}}}=g}$

si ottiene così l'equazione iniziale.

Bibliografia

• B. Gompertz, On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies, in Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 115, 1825, pp. 513–585.
• W. M. Makeham, On the Law of Mortality and the Construction of Annuity Tables, in J. Inst. Actuaries and Assur. Mag., vol. 8, 1860, pp. 301–310.

Voci correlate

• Legge di Gompertz
• Tasso di mortalità
• Tavola di mortalità